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Xmas Contest 2016 H解説

H問題の解法と雑な証明です。

まず、計算量無視して貪欲法を考える。
根付き木にして、
最も深い頂点から順に、距離X以内に頂点がないなら取るというのを繰り返す。
そうすると最適解が作れる。
証明
深い順に頂点に昇順に番号をつける。vの番号をf(v)とする。
上記のアルゴリズムで最適解が得られないと仮定する。
上記のアルゴリズムで得られる解において選ぶ頂点の集合をSとする
すべての最適解において選ぶ頂点の集合をTとしたとき、「条件:頂点x,yであって、f(x)<f(y) かつ x∈S かつ x∉T かつ y∈T、となるものが存在する」を満たすはずである。
そのようなx,yであって、f(x)が最小であって、さらにそのうちf(y)が最小であるものをとってくると、yを選ばないことにしてxを選ぶことによって別の最適解が得られ、これを繰り返していくと「条件」を満たさないような最適解が得られることになり、矛盾する。
「yを選ばないことにしてxを選ぶこと」が常に可能であることを証明する必要がある。
f(x)が最小であるから少なくともf(v)<f(x)となるvについてはSとTで状況が同じであるため、xを選ぶ際の障害にはならない。f(y)が最小であることから、f(x)<f(v)<f(y)となるvは選ばれていないはずである。f(y)<f(v)かつv∈Tとなるvに関しては、dist(x,y)<X≦dist(v,y)であるはずで、「f(x)<f(y)<f(v)」「dist(x,y)<X≦dist(v,y)」からX≦dist(v,y)<dist(v,x)が言えるため、障害にならない。
で、また計算量を無視してDFSで集合S(証明内で定義したやつ)を求めてみようとしてみる。
部分木iだけみたときに選ばれる集合をS_iとする。
部分木i内の頂点vがv∈Sならばv∈S_iとなることは明らか。
S_iとS_jをマージするときは、集合に含まれる頂点を深い順に見て、選べるものだけ選ぶとよい。
S_iの性質として「根から距離X/2以下の頂点は高々1つしかない」ということが言える(もし2つ以上あるなら明らかにその2頂点の距離はX以下であるため)。そのような頂点をSa_iと呼ぶことにする。
Sa_iとSa_jの距離も明らかにX以下なので、少なくともどちらかは捨てなければならない。
また、Sa_i,Sa_j以外の頂点はマージした後も全て選ぶことが出来る事も言える。根からの距離がX/2より大きいため、それらの距離はXよりも大きくなるためである。
Sa_iとSa_jの話に戻るが、このうち深い方以外は必ず捨てることになる。f(Sa_i)<f(Sa_j)とすると、Sa_iが選べずSa_jが選べるというケースはありえないためである。
つまりマージの際行うべきことは、以下の通り。
Sa_i,Sa_j以外の頂点を全て採用する。
Sa_i,Sa_jのうち最も深いものをSaとする。
Saから距離X以内の頂点がない場合はSaを採用する。
ここで、「Saから距離X以内の頂点」となりうるものは「根から距離X/2以下の頂点」が存在しない部分木の頂点でもっとも根に近いものしかない点に注意したい。
マージすべき部分木が3つ以上の場合も上と同様の議論ができる。
上記に基いて効率的なアルゴリズムを設計する。
dfsをして、各部分木で選んだ頂点のうち最も根に近いもの(と選んだ頂点の個数)を求めていく。
ある頂点v以下の部分木に関して計算するときは、その子の部分木内で最も根に近いものを深さ順にソートし、深いものから順に選べる限り選んでいく。
選んだもののうち最も根に近いものをdfsの戻り値として返す。
かなりシンプルなアルゴリズムになった。


しかしまだソートのlogがついているので改善する。
実は、マージのときには「X/2以下のもののうちの最大値」と「X/2より大のもののうちの最小値」を求めていくだけでいい。

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以下ソースコードです。マクロ多くてごめんなさい。

#include略
#define fi first
#define se second
#define rep(i,n) for(int i = 0; i < (n); ++i)
#define rrep(i,n) for(int i = 1; i <= (n); ++i)
#define drep(i,n) for(int i = (n)-1; i >= 0; --i)
#define gep(i,g,j) for(int i = g.head[j]; i != -1; i = g.e[i].next)
#define each(it,c) for(__typeof((c).begin()) it=(c).begin();it!=(c).end();it++)
#define rng(a) a.begin(),a.end()
#define maxs(x,y) x = max(x,y)
#define mins(x,y) x = min(x,y)
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define pcnt __builtin_popcount
#define uni(x) x.erase(unique(rng(x)),x.end())
#define snuke srand((unsigned)clock()+(unsigned)time(NULL));
#define df(x) int x = in()
#define dame { puts("-1"); return 0;}
#define show(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define PQ(T) priority_queue<T,vector<T>,greater<T> >
#define bn(x) ((1<<x)-1)
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef vector<ll> vl;
typedef vector<P> vp;
inline int in() { int x; scanf("%d",&x); return x;}
inline void priv(vi a) { rep(i,sz(a)) printf("%d%c",a[i],i==sz(a)-1?'\n':' ');}
template<typename T>istream& operator>>(istream&i,vector<T>&v)
{rep(j,sz(v))i>>v[j];return i;}
template<typename T>string join(vector<T>&v)
{stringstream s;rep(i,sz(v))s<<' '<<v[i];return s.str().substr(1);}
template<typename T>ostream& operator<<(ostream&o,vector<T>&v)
{if(sz(v))o<<join(v);return o;}
template<typename T1,typename T2>istream& operator>>(istream&i,pair<T1,T2>&v)
{return i>>v.fi>>v.se;}
template<typename T1,typename T2>ostream& operator<<(ostream&o,pair<T1,T2>&v)
{return o<<v.fi<<","<<v.se;}
const int MX = 100005, INF = 1001001001;

int n, m;
vvi to, co;
int cnt;
int dfs(int v, int x, int p=-1) {
  int a = 0, b = INF;
  rep(i,sz(to[v])) {
    int u = to[v][i];
    if (u == p) continue;
    int r = dfs(u,x,v)+co[v][i];
    if (r*2 >= x) {
      mins(b,r);
    } else {
      --cnt;
      maxs(a,r);
    }
  }
  if (a+b < x) return b;
  ++cnt;
  return a;
}
int f(int x) {
  cnt = 0;
  dfs(0,x);
  return cnt;
}

int main() {
  scanf("%d%d",&n,&m);
  to = co = vvi(n);
  rep(i,n-1) {
    int a,b,c;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    --a; --b;
    to[a].pb(b); co[a].pb(c);
    to[b].pb(a); co[b].pb(c);
  }
  int l = 1, r = INF;
  while (l+1<r) {
    int c = (l+r)>>1;
    if (f(c) >= m) l = c; else r = c;
  }
  cout<<l<<endl;
  return 0;
}